148. Точки А (-3; 1), B (2; 4) и C (1; -3) — середины сторон некоторого треугольника. Найдите координаты его вершин.

Пусть данный треугольник $$ABC$$, а вершины искомого треугольника $$A_1, B_1, C_1$$.

Точка $$A$$ является серединой стороны $$B_1C_1$$, точка $$B$$ является серединой стороны $$A_1C_1$$, точка $$C$$ является серединой стороны $$A_1B_1$$.

Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:

$$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$$, $$y = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} \frac{x_{B_1} + x_{C_1}}{2} = -3 \\ \frac{y_{B_1} + y_{C_1}}{2} = 1 \\ \frac{x_{A_1} + x_{C_1}}{2} = 2 \\ \frac{y_{A_1} + y_{C_1}}{2} = 4 \\ \frac{x_{A_1} + x_{B_1}}{2} = 1 \\ \frac{y_{A_1} + y_{B_1}}{2} = -3 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x_{B_1} + x_{C_1} = -6 \\ y_{B_1} + y_{C_1} = 2 \\ x_{A_1} + x_{C_1} = 4 \\ y_{A_1} + y_{C_1} = 8 \\ x_{A_1} + x_{B_1} = 2 \\ y_{A_1} + y_{B_1} = -6 \end{cases}$$

Выразим из первого уравнения $$x_{B_1}$$ и подставим в последнее уравнение, выразим из второго уравнения $$y_{B_1}$$ и подставим в последнее уравнение:

$$\begin{cases} x_{B_1} = -6 - x_{C_1} \\ y_{B_1} = 2 - y_{C_1} \end{cases}$$ $$\begin{cases} x_{A_1} - 6 - x_{C_1} = 2 \\ y_{A_1} + 2 - y_{C_1} = -6 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x_{A_1} - x_{C_1} = 8 \\ y_{A_1} - y_{C_1} = -8 \end{cases}$$

Сложим полученное уравнение с третьим и четвертым уравнением системы:

$$\begin{cases} x_{A_1} - x_{C_1} + x_{A_1} + x_{C_1} = 8 + 4 \\ y_{A_1} - y_{C_1} + y_{A_1} + y_{C_1} = -8 + 8 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2x_{A_1} = 12 \\ 2y_{A_1} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x_{A_1} = 6 \\ y_{A_1} = 0 \end{cases}$$

Подставим полученные значения в третье и четвертое уравнения исходной системы:

$$\begin{cases} 6 + x_{C_1} = 4 \\ 0 + y_{C_1} = 8 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x_{C_1} = -2 \\ y_{C_1} = 8 \end{cases}$$

Подставим полученные значения в первое и второе уравнения исходной системы:

$$\begin{cases} x_{B_1} - 2 = -6 \\ y_{B_1} + 8 = 2 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x_{B_1} = -4 \\ y_{B_1} = -6 \end{cases}$$

Получаем координаты вершин искомого треугольника:

$$A_1 (6; 0), B_1 (-4; -6), C_1 (-2; 8)$$

Ответ: $$A_1 (6; 0), B_1 (-4; -6), C_1 (-2; 8)$$