Найдите общий вид первообразной для f(x) = 2x^2 + 3/x^4 + √x + 2 на (0;∞)

Решение:

Для нахождения общего вида первообразной \( F(x) \) проинтегрируем функцию \( f(x) = 2x^2 + \frac{3}{x^4} + \sqrt{x} + 2 \) на интервале \( (0; \infty) \).

\[ F(x) = \int \left( 2x^2 + \frac{3}{x^4} + \sqrt{x} + 2 \right) dx \]

Перепишем функцию, используя степени:

\[ f(x) = 2x^2 + 3x^{-4} + x^{1/2} + 2 \]

Теперь проинтегрируем каждый член:

\[ \int 2x^2 dx = 2 \frac{x^{2+1}}{2+1} = 2 \frac{x^3}{3} \]

\[ \int 3x^{-4} dx = 3 \frac{x^{-4+1}}{-4+1} = 3 \frac{x^{-3}}{-3} = -x^{-3} = -\frac{1}{x^3} \]

\[ \int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} \]

\[ \int 2 dx = 2x \]

Складываем все части и добавляем константу интегрирования \( C \):

\[ F(x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{x^3} + \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x + C \]

Ответ: \( F(x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{x^3} + \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x + C \).