Вычислите $$\int_{0}^{1/3} \frac{1}{(1-6x)^2} dx$$

Решение:

Для вычисления интеграла \( \int_{0}^{1/3} \frac{1}{(1-6x)^2} dx \) сделаем замену переменной.

Пусть \( u = 1 - 6x \). Тогда \( du = -6 dx \), или \( dx = -\frac{1}{6} du \).

Изменим пределы интегрирования:

• Когда \( x = 0 \), \( u = 1 - 6(0) = 1 \).
• Когда \( x = \frac{1}{3} \), \( u = 1 - 6(\frac{1}{3}) = 1 - 2 = -1 \).

Теперь интеграл примет вид:

\[ \int_{1}^{-1} \frac{1}{u^2} \left(-\frac{1}{6} du\right) = -\frac{1}{6} \int_{1}^{-1} u^{-2} du \]

Поменяем пределы интегрирования местами, изменив знак перед интегралом:

\[ -\frac{1}{6} \int_{1}^{-1} u^{-2} du = \frac{1}{6} \int_{-1}^{1} u^{-2} du \]

Найдем первообразную для \( u^{-2} \):

\[ \int u^{-2} du = \frac{u^{-2+1}}{-2+1} = \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u} \]

Теперь вычислим определенный интеграл:

\[ \frac{1}{6} \left[ -\frac{1}{u} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{6} \left( \left(-\frac{1}{1}\right) - \left(-\frac{1}{-1}\right) \right) = \frac{1}{6} \left( -1 - 1 \right) = \frac{1}{6} (-2) = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \]

Важное замечание: Функция \( \frac{1}{(1-6x)^2} \) имеет разрыв при \( x = \frac{1}{6} \), который находится внутри пределов интегрирования \( [0, \frac{1}{3}] \). Следовательно, данный несобственный интеграл расходится.

Ответ: Интеграл расходится.