Вычислите $$\int_{-3}^{1} (x^2 + 4x + 4)dx$$

Решение:

Сначала найдем первообразную для функции \( f(x) = x^2 + 4x + 4 \).

\[ F(x) = \int (x^2 + 4x + 4) dx = \frac{x^3}{3} + 4 \frac{x^2}{2} + 4x = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \]

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\[ \int_{-3}^{1} (x^2 + 4x + 4) dx = F(1) - F(-3) \]

Вычислим \( F(1) \):

\[ F(1) = \frac{(1)^3}{3} + 2(1)^2 + 4(1) = \frac{1}{3} + 2 + 4 = 6 + \frac{1}{3} = \frac{18}{3} + \frac{1}{3} = \frac{19}{3} \]

Вычислим \( F(-3) \):

\[ F(-3) = \frac{(-3)^3}{3} + 2(-3)^2 + 4(-3) = \frac{-27}{3} + 2(9) - 12 = -9 + 18 - 12 = 9 - 12 = -3 \]

Теперь найдем разность:

\[ F(1) - F(-3) = \frac{19}{3} - (-3) = \frac{19}{3} + 3 = \frac{19}{3} + \frac{9}{3} = \frac{28}{3} \]

Ответ: \( \frac{28}{3} \).