Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 +2, y=0, x=-2, x = 1.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 + 2 \), \( y = 0 \) (ось Ox), \( x = -2 \) и \( x = 1 \), можно найти с помощью определенного интеграла.

Поскольку функция \( y = x^2 + 2 \) всегда положительна (так как \( x^2 \ge 0 \), то \( x^2 + 2 \ge 2 \)), площадь равна:

\[ S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2) dx \]

Найдем первообразную для \( x^2 + 2 \):

\[ F(x) = \int (x^2 + 2) dx = \frac{x^3}{3} + 2x \]

Теперь вычислим определенный интеграл, используя пределы от -2 до 1:

\[ S = F(1) - F(-2) \]

Вычислим \( F(1) \):

\[ F(1) = \frac{(1)^3}{3} + 2(1) = \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3} \]

Вычислим \( F(-2) \):

\[ F(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + 2(-2) = \frac{-8}{3} - 4 = \frac{-8}{3} - \frac{12}{3} = \frac{-20}{3} \]

Теперь найдем площадь:

\[ S = \frac{7}{3} - \left(\frac{-20}{3}\right) = \frac{7}{3} + \frac{20}{3} = \frac{27}{3} = 9 \]

Ответ: 9.