Вычислите с помощью дифференциала √1,006

Решение:

Обозначим \( f(x) = \sqrt{x} \). Нам нужно вычислить \( f(1.006) \).

Возьмем точку \( x_0 = 1 \), тогда \( \Delta x = 1.006 - 1 = 0.006 \).

Найдем производную \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \]

Найдем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):

\[ f'(1) = \frac{1}{2 \sqrt{1}} = \frac{1}{2} \]

Используем формулу приближенного вычисления: \( f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) · \Delta x \).

\[ \sqrt{1.006} \approx \sqrt{1} + \frac{1}{2} · 0.006 = 1 + 0.003 = 1.003 \]

Ответ: \( \sqrt{1.006} \approx 1.003 \).