Объём конуса, описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, равен 78. Найдите объём конуса, вписанного в эту пирамиду.

Пусть R - радиус основания описанного конуса, r - радиус основания вписанного конуса.

$$R = \frac{a \sqrt{2}}{2}$$, где a - сторона основания пирамиды.

$$r = \frac{a}{2}$$.

Тогда, $$\frac{R}{r} = \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{2}$$.

Объем описанного конуса: $$V_{опис} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = 78$$.

Объем вписанного конуса: $$V_{впис} = \frac{1}{3} \pi r^2 H$$.

Тогда, $$\frac{V_{опис}}{V_{впис}} = \frac{\frac{1}{3} \pi R^2 H}{\frac{1}{3} \pi r^2 H} = \frac{R^2}{r^2} = (\frac{R}{r})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$$.

$$V_{впис} = \frac{V_{опис}}{2} = \frac{78}{2} = 39$$.

Ответ: 39