17. Площадь прямоугольного треугольника равна $$\frac{50\sqrt{3}}{3}$$. Один из острых углов равен $$30^\circ$$. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Пусть $$a$$ и $$b$$ - катеты прямоугольного треугольника, а $$S$$ - его площадь. Тогда $$S = \frac{1}{2}ab$$. Один из острых углов равен $$30^\circ$$. Пусть катет $$x$$ прилежит к углу $$30^\circ$$. Тогда другой катет равен $$x \cdot \tan(30^\circ) = x \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$$. Площадь треугольника равна $$S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{x^2}{2\sqrt{3}} = \frac{50\sqrt{3}}{3}$$. Умножим обе части уравнения на $$2\sqrt{3}$$: $$x^2 = \frac{50\sqrt{3}}{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{50 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 100$$. $$x = \sqrt{100} = 10$$. Ответ: 10