25. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B проведена биссектриса угла A. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведённый к стороне BC в точке K. Найдите угол BCK, если известно, что угол ACB равен 40°.

Решение: 1. Пусть угол $$ACB = 40^\circ$$. Тогда угол $$BAC = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$$. 2. Так как $$AK$$ - биссектриса угла $$BAC$$, то угол $$BAK = угол CAK = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$$. 3. Пусть $$M$$ - середина стороны $$BC$$. Тогда $$KM$$ - серединный перпендикуляр к $$BC$$, значит, угол $$KMB = 90^\circ$$. 4. В треугольнике $$KMB$$ угол $$MBK + угол BKM = 90^\circ$$, так как угол $$KMB = 90^\circ$$. Значит, угол $$MBK = 90^\circ - угол BKM. 5. Рассмотрим треугольник $$ABK$$. Сумма углов в треугольнике равна $$180^\circ$$, то есть угол $$ABK + угол BAK + угол AKB = 180^\circ$$. Отсюда, угол $$AKB = 180^\circ - угол ABK - угол BAK = 180^\circ - 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$$. 6. Угол $$BKM + угол AKB = 180^\circ$$, значит, угол $$BKM + 65^\circ = 180^\circ$$, следовательно угол $$BKM = 115^\circ$$. Это противоречит п.5. 7. На рисунке К может лежать на прямой, а не отрезке. И точка K лежит вне треугольника. В таком случае, угол $$BCK$$ равен углу $$MCK$$. Поскольку KM - серединный перпендикуляр к BC, то треугольник $$BCK$$ - равнобедренный, и угол $$CBK= углу CKв$$. Угол между MK и BC равен 90, так что угол MCK+ угол CBK=90. Угол B равен 90. Угол ACB равен 40. Так что угол CBK= 90-40 = 50. Теперь 90= MCK +50. То есть угол MCK равен 40. Ответ: $$40^\circ$$