5. Решите неравенство 5\cdot 4^{x+2} - 4^{x+1} \geq \frac{19}{32}. В ответе укажите наименьшее целое решение.

5. Решим неравенство: $$5 \cdot 4^{x+2} - 4^{x+1} \geq \frac{19}{32}$$

Представим степени как произведения: $$5 \cdot 4^x \cdot 4^2 - 4^x \cdot 4^1 \geq \frac{19}{32}$$

Вынесем общий множитель $$4^x$$ за скобку: $$4^x(5 \cdot 16 - 4) \geq \frac{19}{32}$$

Упростим: $$4^x (80 - 4) \geq \frac{19}{32}$$

Выполним вычитание: $$4^x \cdot 76 \geq \frac{19}{32}$$

Разделим обе части на 76: $$4^x \geq \frac{19}{32 \cdot 76}$$

Упростим: $$4^x \geq \frac{1}{32 \cdot 4} = \frac{1}{128}$$

Представим 128 как степень числа 4: $$4^x \geq \frac{1}{4^{\frac{7}{2}}}$$

Или: $$4^x \geq 4^{-\frac{7}{2}}$$

Сравним показатели степени: $$x \geq -\frac{7}{2} = -3.5$$

Наименьшее целое решение: -3.

Ответ: -3