13. Решите систему уравнений: { log₉ (x - y)=½ log₆₄ x / log₆₄ y = ⅓

13. Решим систему уравнений: $$\begin{cases} log_9 (x - y) = \frac{1}{2}\\ \frac{log_{64} x}{log_{64} y} = \frac{1}{3} \end{cases}$$

Из первого уравнения: $$x - y = 9^{\frac{1}{2}}$$

Тогда $$x - y = 3$$

Из второго уравнения: $$log_{64} x = \frac{1}{3} log_{64} y = log_{64} y^{\frac{1}{3}}$$

Опустим логарифмы: $$x = y^{\frac{1}{3}}$$. Тогда $$x^3 = y$$

Подставим во второе уравнение: $$x - x^3 = 3$$

$$x^3 - x + 3 = 0$$

Решение данного уравнения затруднительно, так как нет рациональных корней. Однако мы можем упростить первое уравнение:

$$log_9 (x - y) = \frac{1}{2}$$

Тогда: $$x - y = 9^{\frac{1}{2}} = 3 \implies x = y + 3$$

Подставим во второе уравнение:

$$\frac{log_{64} (y + 3)}{log_{64} y} = \frac{1}{3}$$

$$3log_{64} (y + 3) = log_{64} y$$

$$log_{64} (y + 3)^3 = log_{64} y$$

Опустим логарифмы: $$(y + 3)^3 = y$$

$$y^3 + 9y^2 + 27y + 27 = y$$

$$y^3 + 9y^2 + 26y + 27 = 0$$

Решение данного уравнения так же затруднительно, так как нет рациональных корней.

Ответ: Решение системы не может быть найдено в рамках школьной программы.