Решите неравенство: (x^2-9)/(x-2) <= 0

Решение:

Для решения дробно-рационального неравенства \( \frac{x^2 - 9}{x - 2} \le 0 \) необходимо найти корни числителя и знаменателя и использовать метод интервалов.

1. Найдём корни числителя:

\[ x^2 - 9 = 0 \]

\( x^2 = 9 \)

\[ x = \pm 3 \]

• \( x_1 = 3 \)
• \( x_2 = -3 \)

2. Найдём корень знаменателя:

\[ x - 2 = 0 \]

\( x = 2 \)

Заметим, что \( x = 2 \) не входит в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю.

3. Нанесем корни на числовую прямую и определим знаки выражения на интервалах:

Интервалы: \( (-\infty; -3], [-3; 2), (2; 3], [3; \infty) \).

Проверим знак выражения в каждом интервале:

• Для \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( \frac{(-4)^2 - 9}{-4 - 2} = \frac{16 - 9}{-6} = \frac{7}{-6} < 0 \).
• Для \( -3 < x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{0^2 - 9}{0 - 2} = \frac{-9}{-2} = \frac{9}{2} > 0 \).
• Для \( 2 < x < 3 \) (например, \( x = 2.5 \)): \( \frac{(2.5)^2 - 9}{2.5 - 2} = \frac{6.25 - 9}{0.5} = \frac{-2.75}{0.5} < 0 \).
• Для \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( \frac{4^2 - 9}{4 - 2} = \frac{16 - 9}{2} = \frac{7}{2} > 0 \).

Нам нужны значения, где выражение \( \le 0 \). Это интервалы \( (-\infty; -3] \) и \( (2; 3] \). Корень \( x = -3 \) включается, так как неравенство нестрогое. Корень \( x = 2 \) не включается.

Ответ: \( (-\infty; -3] \cup (2; 3] \)