14. Решите уравнение √18х2-9 = х²-4.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$\sqrt{18x^2-9} = x^2-4$$ $$(\sqrt{18x^2-9})^2 = (x^2-4)^2$$ $$18x^2 - 9 = x^4 - 8x^2 + 16$$ $$x^4 - 8x^2 - 18x^2 + 16 + 9 = 0$$ $$x^4 - 26x^2 + 25 = 0$$

Пусть $$y = x^2$$, тогда

$$y^2 - 26y + 25 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576$$ $$y_1 = \frac{-(-26) + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{26+24}{2} = \frac{50}{2} = 25$$ $$y_2 = \frac{-(-26) - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{26-24}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Вернемся к замене:

1) $$x^2 = 25$$

$$x_1 = 5$$

$$x_2 = -5$$

2) $$x^2 = 1$$

$$x_3 = 1$$

$$x_4 = -1$$

Проверим корни:

1. Если x=5:

   $$\sqrt{18*(5)^2-9} = \sqrt{450-9} = \sqrt{441} = 21$$

   $$5^2-4 = 25-4 = 21$$

   Значит, x=5 является решением.

2. Если x=-5:

   $$\sqrt{18*(-5)^2-9} = \sqrt{450-9} = \sqrt{441} = 21$$

   $$(-5)^2-4 = 25-4 = 21$$

   Значит, x=-5 является решением.

3. Если x=1:

   $$\sqrt{18*(1)^2-9} = \sqrt{18-9} = \sqrt{9} = 3$$

   $$1^2-4 = 1-4 = -3$$

   Значит, x=1 не является решением.

4. Если x=-1:

   $$\sqrt{18*(-1)^2-9} = \sqrt{18-9} = \sqrt{9} = 3$$

   $$(-1)^2-4 = 1-4 = -3$$

   Значит, x=-1 не является решением.

Ответ: 5, -5