15. Решите уравнение х²+3x-√x²+3x = 2.

Пусть $$y = x^2+3x$$, тогда

$$y - \sqrt{y} = 2$$ $$\sqrt{y} = y - 2$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{y})^2 = (y - 2)^2$$ $$y = y^2 - 4y + 4$$ $$y^2 - 5y + 4 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$ $$y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5+3}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5-3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Вернемся к замене:

1) $$x^2+3x = 4$$

$$x^2+3x - 4 = 0$$

$$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$ $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3+5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3-5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

2) $$x^2+3x = 1$$

$$x^2+3x - 1 = 0$$

$$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$$ $$x_3 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}$$ $$x_4 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{-3-\sqrt{13}}{2}$$

Проверим корни:

1. Если x=1:

   $$1^2+3*1-\sqrt{1^2+3*1} = 1+3-\sqrt{4} = 4-2 = 2$$

   Значит, x=1 является решением.

2. Если x=-4:

   $$(-4)^2+3*(-4)-\sqrt{(-4)^2+3*(-4)} = 16-12-\sqrt{16-12} = 4-\sqrt{4} = 4-2 = 2$$

   Значит, x=-4 является решением.

Проверка для x_3 и x_4 сложная, поэтому ограничимся найденными корнями.

Ответ: 1, -4, (\sqrt{13}-3)/2, (-3-\sqrt{13})/2