16. Решите уравнение √x+1+√4х+13=√3x+12.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+13})^2 = (\sqrt{3x+12})^2$$ $$(x+1) + 2\sqrt{(x+1)(4x+13)} + (4x+13) = 3x+12$$ $$5x+14 + 2\sqrt{4x^2+17x+13} = 3x+12$$ $$2\sqrt{4x^2+17x+13} = -2x - 2$$ $$\sqrt{4x^2+17x+13} = -x - 1$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{4x^2+17x+13})^2 = (-x - 1)^2$$ $$4x^2+17x+13 = x^2 + 2x + 1$$ $$3x^2 + 15x + 12 = 0$$ $$x^2 + 5x + 4 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$ $$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5+3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5-3}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Проверим корни:

1. Если x=-1:

   $$\sqrt{-1+1}+\sqrt{4*(-1)+13} = 0 + \sqrt{9} = 3$$

   $$\sqrt{3*(-1)+12} = \sqrt{9} = 3$$

   Значит, x=-1 является решением.

2. Если x=-4:

   $$\sqrt{-4+1}+\sqrt{4*(-4)+13} = \sqrt{-3}+\sqrt{-3}$$

   Выражения не имеют смысла, значит, x=-4 не является решением.

Ответ: -1