14. Решите уравнение √18x² -9 = x²-4.

14. Решите уравнение $$√{18x^2 -9} = x^2-4$$.

1. Возведем обе части уравнения в квадрат:$$(√{18x^2 -9})^2 = (x^2-4)^2$$$$18x^2 -9 = x^4 - 8x^2 + 16$$
2. Перенесем все члены в правую часть уравнения:$$x^4 - 8x^2 + 16 - 18x^2 + 9 = 0$$$$x^4 - 26x^2 + 25 = 0$$
3. Введем новую переменную $$y = x^2$$. Тогда уравнение примет вид:$$y^2 - 26y + 25 = 0$$
4. Решим это квадратное уравнение относительно y. Воспользуемся формулой для нахождения дискриминанта квадратного уравнения:$$D = b^2 - 4ac$$где a = 1, b = -26, c = 25.
5. Вычислим дискриминант:$$D = (-26)^2 - 4(1)(25) = 676 - 100 = 576$$
6. Найдем корни уравнения:$$y_1 = \frac{-b + √D}{2a} = \frac{26 + √{576}}{2(1)} = \frac{26 + 24}{2} = \frac{50}{2} = 25$$$$y_2 = \frac{-b - √D}{2a} = \frac{26 - √{576}}{2(1)} = \frac{26 - 24}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
7. Теперь найдем x, используя найденные значения y:
8. Если $$y_1 = 25$$, то $$x^2 = 25$$$$x = ±5$$
9. Если $$y_2 = 1$$, то $$x^2 = 1$$$$x = ±1$$
10. Проверим найденные значения x в исходном уравнении:
11. Если x = 5:$$√{18(5)^2 -9} = (5)^2-4$$$$√{450 -9} = 25-4$$$$√{441} = 21$$$$21 = 21$$Следовательно, x = 5 является решением.
12. Если x = -5:$$√{18(-5)^2 -9} = (-5)^2-4$$$$√{450 -9} = 25-4$$$$√{441} = 21$$$$21 = 21$$Следовательно, x = -5 является решением.
13. Если x = 1:$$√{18(1)^2 -9} = (1)^2-4$$$$√{18 -9} = 1-4$$$$√{9} = -3$$$$3 = -3$$Не верно, следовательно, x = 1 не является решением.
14. Если x = -1:$$√{18(-1)^2 -9} = (-1)^2-4$$$$√{18 -9} = 1-4$$$$√{9} = -3$$$$3 = -3$$Не верно, следовательно, x = -1 не является решением.

Ответ: -5, 5