16. Решите уравнение √x+1+√4x+13=√3x+12.

Решим уравнение $$\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+13}=\sqrt{3x+12}$$.

1. Обе части уравнения возведем в квадрат: $$(\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+13})^2=(\sqrt{3x+12})^2$$.
2. $$x+1+2\sqrt{(x+1)(4x+13)}+4x+13=3x+12$$.
3. $$5x+14+2\sqrt{4x^2+17x+13}=3x+12$$.
4. $$2\sqrt{4x^2+17x+13}=-2x-2$$.
5. $$\sqrt{4x^2+17x+13}=-x-1$$.
6. Обе части уравнения возведем в квадрат: $$(\sqrt{4x^2+17x+13})^2=(-x-1)^2$$.
7. $$4x^2+17x+13=x^2+2x+1$$.
8. $$3x^2+15x+12=0$$.
9. $$x^2+5x+4=0$$.

$$D=5^2-4\cdot1\cdot4=25-16=9=3^2$$

$$x_1=\frac{-5+3}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1$$

$$x_2=\frac{-5-3}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-4$$

10. Проверим корни:

При $$x=-1$$: $$\sqrt{-1+1}+\sqrt{4\cdot(-1)+13}=\sqrt{3\cdot(-1)+12}$$, $$\sqrt{0}+\sqrt{9}=\sqrt{9}$$, $$0+3=3$$, $$3=3$$ - верно.

При $$x=-4$$: $$\sqrt{-4+1}+\sqrt{4\cdot(-4)+13}=\sqrt{3\cdot(-4)+12}$$, $$\sqrt{-3}+\sqrt{-3}=\sqrt{0}$$ - не имеет смысла, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Корень уравнения $$x=-1$$.

Ответ: -1