14. Решите уравнение √18x²-9 = x²-4.

Решим уравнение $$\sqrt{18x^2-9} = x^2-4$$.

1. Обе части уравнения возведем в квадрат: $$(\sqrt{18x^2-9})^2 = (x^2-4)^2$$.
2. $$18x^2-9 = x^4-8x^2+16$$.
3. $$x^4-8x^2+16-18x^2+9 = 0$$.
4. $$x^4-26x^2+25 = 0$$.
5. Пусть $$t=x^2$$, тогда:
6. $$t^2-26t+25 = 0$$.

$$D=(-26)^2-4\cdot1\cdot25=676-100=576=24^2$$

$$t_1=\frac{-(-26)+24}{2\cdot1}=\frac{26+24}{2}=\frac{50}{2}=25$$

$$t_2=\frac{-(-26)-24}{2\cdot1}=\frac{26-24}{2}=\frac{2}{2}=1$$

7. Вернемся к замене:

$$x^2=25$$, $$x=\pm\sqrt{25}=\pm5$$, $$x_1=5$$, $$x_2=-5$$.

$$x^2=1$$, $$x=\pm\sqrt{1}=\pm1$$, $$x_3=1$$, $$x_4=-1$$.

8. Проверим корни:

При $$x=5$$: $$\sqrt{18\cdot5^2-9} = 5^2-4$$, $$\sqrt{450-9} = 25-4$$, $$\sqrt{441} = 21$$, $$21=21$$ - верно.

При $$x=-5$$: $$\sqrt{18\cdot(-5)^2-9} = (-5)^2-4$$, $$\sqrt{450-9} = 25-4$$, $$\sqrt{441} = 21$$, $$21=21$$ - верно.

При $$x=1$$: $$\sqrt{18\cdot1^2-9} = 1^2-4$$, $$\sqrt{18-9} = 1-4$$, $$\sqrt{9} = -3$$, $$3=-3$$ - неверно.

При $$x=-1$$: $$\sqrt{18\cdot(-1)^2-9} = (-1)^2-4$$, $$\sqrt{18-9} = 1-4$$, $$\sqrt{9} = -3$$, $$3=-3$$ - неверно.

Корни уравнения $$x=5$$ и $$x=-5$$.

Ответ: 5, -5