15. Решите уравнение х²+3x-√x2+3x = 2.

Решим уравнение $$x^2+3x-\sqrt{x^2+3x} = 2$$.

1. Пусть $$t=\sqrt{x^2+3x}$$, тогда:
2. $$t^2-t=2$$.
3. $$t^2-t-2=0$$.

$$D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9=3^2$$

$$t_1=\frac{-(-1)+3}{2\cdot1}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$$

$$t_2=\frac{-(-1)-3}{2\cdot1}=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

4. Вернемся к замене:

$$\sqrt{x^2+3x}=2$$, $$x^2+3x=4$$, $$x^2+3x-4=0$$.

$$D=3^2-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25=5^2$$

$$x_1=\frac{-3+5}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$

$$x_2=\frac{-3-5}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-4$$

$$\sqrt{x^2+3x}=-1$$ - не имеет решений, т.к. квадратный корень не может быть отрицательным.

5. Проверим корни:

При $$x=1$$: $$1^2+3\cdot1-\sqrt{1^2+3\cdot1} = 2$$, $$1+3-\sqrt{1+3} = 2$$, $$4-\sqrt{4} = 2$$, $$4-2=2$$, $$2=2$$ - верно.

При $$x=-4$$: $$(-4)^2+3\cdot(-4)-\sqrt{(-4)^2+3\cdot(-4)} = 2$$, $$16-12-\sqrt{16-12} = 2$$, $$4-\sqrt{4} = 2$$, $$4-2=2$$, $$2=2$$ - верно.

Корни уравнения $$x=1$$ и $$x=-4$$.

Ответ: 1, -4