693 В прямоугольный треугольник вписана окружность ради- yca r. Hайдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26см, r=4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

Рассмотрим решение задачи 693. а) Пусть дан прямоугольный треугольник с гипотенузой $$c$$, радиус вписанной окружности $$r$$ и периметр $$P$$. Известно, что $$c = 26$$ см и $$r = 4$$ см. Необходимо найти периметр $$P$$ этого треугольника. Для прямоугольного треугольника известна формула: $$r = \frac{a+b-c}{2}$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты, а $$c$$ - гипотенуза. Выразим сумму катетов: $$a + b = 2r + c$$. Периметр треугольника равен: $$P = a + b + c$$. Подставим выражение для суммы катетов: $$P = 2r + c + c = 2r + 2c$$. Подставим известные значения: $$P = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 26 = 8 + 52 = 60$$ см. б) Пусть точка касания делит гипотенузу на отрезки $$x = 5$$ см и $$y = 12$$ см. Тогда гипотенуза $$c = x + y = 5 + 12 = 17$$ см. Известно, что отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Пусть $$a$$ и $$b$$ - катеты, тогда $$a = x + r = 5 + r$$ и $$b = y + r = 12 + r$$, где $$r$$ - радиус вписанной окружности. По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$. $$(5+r)^2 + (12+r)^2 = 17^2$$ $$25 + 10r + r^2 + 144 + 24r + r^2 = 289$$ $$2r^2 + 34r + 169 = 289$$ $$2r^2 + 34r - 120 = 0$$ $$r^2 + 17r - 60 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$r = \frac{-17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60)}}{2} = \frac{-17 \pm \sqrt{289 + 240}}{2} = \frac{-17 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{-17 \pm 23}{2}$$. $$r_1 = \frac{-17 + 23}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ см, $$r_2 = \frac{-17 - 23}{2} = -20$$ (не подходит, так как радиус не может быть отрицательным). Итак, радиус вписанной окружности $$r = 3$$ см. Тогда катеты равны: $$a = 5 + 3 = 8$$ см, $$b = 12 + 3 = 15$$ см. Периметр треугольника: $$P = a + b + c = 8 + 15 + 17 = 40$$ см. Ответ: a) 60 см; б) 40 см