27. В треугольнике АВС АС = BC, AB = 24, tg A =√5/2. Найдите длину стороны АС.

Ответ: 18

В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) высота, проведённая к основанию AB, также является медианой и биссектрисой. Обозначим высоту как CH. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Нужно найти длину стороны AC, зная AB = 24 и tgA = √5/2.

Шаг 1: Найдём AH:

\[AH = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12\]

Шаг 2: Запишем тангенс угла A:

\[tg A = \frac{CH}{AH}\]
\[\frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{CH}{12}\]

Шаг 3: Найдём CH:

\[CH = 12 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 6\sqrt{5}\]

Шаг 4: Используем теорему Пифагора для треугольника ACH, чтобы найти AC:

\[AC^2 = AH^2 + CH^2\]
\[AC^2 = 12^2 + (6\sqrt{5})^2 = 144 + 36 \cdot 5 = 144 + 180 = 324\]

Шаг 5: Найдём AC, извлекая квадратный корень:

\[AC = \sqrt{324} = 18\]

Ответ: 18