19) В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН высота, АВ = 90, sinA=2/3. Найдите длину отрезка АН.

Ответ: 50

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C и высотой CH, опущенной на гипотенузу AB, треугольники ACH и ABC подобны. Нам нужно найти длину отрезка AH, зная sinA = 2/3 и AB = 90.

Шаг 1: Выразим AC через sinA:

\[sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}\]

Шаг 2: Найдём BC:

\[BC = AB \cdot sin A = 90 \cdot \frac{2}{3} = 60\]

Шаг 3: Используем теорему Пифагора для треугольника ABC, чтобы найти AC:

\[AC^2 + BC^2 = AB^2\]
\[AC^2 = AB^2 - BC^2\]
\[AC^2 = 90^2 - 60^2 = 8100 - 3600 = 4500\]
\[AC = \sqrt{4500} = 30\sqrt{5}\]

Шаг 4: Рассмотрим треугольник ACH. В нём sinA = CH/AC, cosA = AH/AC. Зная sinA, найдём cosA:

\[sin^2 A + cos^2 A = 1\]
\[cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\]
\[cos A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\]

Шаг 5: Найдём AH:

\[AH = AC \cdot cos A = 30\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 10 \cdot 5 = 50\]

Ответ: 50