23. В треугольнике АВС АС = ВС, AB = 20, tg A=2√6/5. Найдите длину стороны АС.

Ответ: 14

В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) высота, проведённая к основанию AB, также является медианой и биссектрисой. Обозначим высоту как CH. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Нам нужно найти длину стороны AC, зная AB = 20 и tgA = (2√6)/5.

Шаг 1: Найдём AH:

\[AH = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10\]

Шаг 2: Запишем тангенс угла A:

\[tg A = \frac{CH}{AH}\]
\[\frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{CH}{10}\]

Шаг 3: Найдём CH:

\[CH = 10 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 4\sqrt{6}\]

Шаг 4: Используем теорему Пифагора для треугольника ACH, чтобы найти AC:

\[AC^2 = AH^2 + CH^2\]
\[AC^2 = 10^2 + (4\sqrt{6})^2 = 100 + 16 \cdot 6 = 100 + 96 = 196\]

Шаг 5: Найдём AC, извлекая квадратный корень:

\[AC = \sqrt{196} = 14\]

Ответ: 14