9. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АН = 54, ВС = BM. Найдите длину стороны АС.

В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AH = 54, BC = BM. Необходимо найти длину стороны AC.

Дополнительные построения: Продлим высоту BH до пересечения с продолжением медианы BM в точке D так, чтобы BM = MD. Получится, что AMCD — параллелограмм, так как диагонали AMCD точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, CD = AM = MC = BC. Рассмотрим треугольник BCD, у него BC = CD = BD, следовательно, BCD – равносторонний, значит, все углы равны 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, ∠ABH = 90° - ∠A. ∠A = ∠DCA = 60°, т.к. AMCD параллелограмм, следовательно, ∠ABH = 90° - 60° = 30°.

AH = AB * cos A

AB = AH / cos A = 54 / cos 60° = 54 / (1/2) = 108

MC = 1/2 * AB = 1/2 * 108 = 54

AC = 2 * MC = 2 * 108 = 108

Ответ: 108