6) В треугольнике со сторонами 8 и 12 проведены высоты к этим сторонам. Найдите боль- щую из этих высот, если меньшая из них равна 4.

Пусть $$a$$ и $$b$$ - стороны треугольника, $$h_a$$ и $$h_b$$ - высоты, проведённые к этим сторонам. Площадь треугольника можно выразить как $$S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b$$.

Тогда $$a h_a = b h_b$$, откуда $$h_b = \frac{a h_a}{b}$$.

В данном случае, пусть $$a = 8$$, $$b = 12$$. Если $$h_a = 4$$, то $$h_b = \frac{8 \cdot 4}{12} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \approx 2.67$$. В этом случае меньшая высота $$h_b$$, что противоречит условию.

Тогда пусть $$h_b = 4$$, $$h_a = \frac{b h_b}{a} = \frac{12 \cdot 4}{8} = 6$$. Большая высота равна 6.

Ответ: 6