412. Вершины А и В квадрата ABCD лежат на окружности с центром в точке О, причём эта точка является серединой стороны CD. Найдите площадь квадрата, если радиус окружности равен: а) 10; 6) 9; в) √3; г) 4√5.

Пусть сторона квадрата $$a$$. Тогда радиус окружности, на которой лежат вершины A и B, а центр O - середина стороны CD, равен $$R = \frac{5a}{8}$$. Отсюда, сторона квадрата $$a = \frac{8R}{5}$$.

Площадь квадрата $$S = a^2 = (\frac{8R}{5})^2 = \frac{64R^2}{25}$$.

а) Если $$R = 10$$, то $$S = \frac{64 \cdot 10^2}{25} = \frac{64 \cdot 100}{25} = 64 \cdot 4 = 256$$.

б) Если $$R = 9$$, то $$S = \frac{64 \cdot 9^2}{25} = \frac{64 \cdot 81}{25} = \frac{5184}{25} = 207.36$$.

в) Если $$R = \sqrt{3}$$, то $$S = \frac{64 \cdot (\sqrt{3})^2}{25} = \frac{64 \cdot 3}{25} = \frac{192}{25} = 7.68$$.

г) Если $$R = 4 \sqrt{5}$$, то $$S = \frac{64 \cdot (4 \sqrt{5})^2}{25} = \frac{64 \cdot 16 \cdot 5}{25} = \frac{64 \cdot 16}{5} = \frac{1024}{5} = 204.8$$.

Ответ: а) 256; б) 207.36; в) 7.68; г) 204.8