В1. Решите неравенство: log_6 (x² - 3x + 2) ≥ -1

Решение:

Решим неравенство \( \log_6 (x^2 - 3x + 2) \ge -1 \).

1. ОДЗ (Область допустимых значений): Аргумент логарифма должен быть положительным.
• \( x^2 - 3x + 2 > 0 \)
• Найдем корни квадратного трехчлена: \( x^2 - 3x + 2 = 0 \). \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \).
• \( x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \).
• Так как ветви параболы \( y = x^2 - 3x + 2 \) направлены вверх, то \( x^2 - 3x + 2 > 0 \) при \( x < 1 \) или \( x > 2 \).
2. Решение неравенства:
• Представим \( -1 \) как логарифм по основанию 6: \( -1 = \log_6 (6^{-1}) = \log_6 (\frac{1}{6}) \).
• Неравенство примет вид: \( \log_6 (x^2 - 3x + 2) \ge \log_6 (\frac{1}{6}) \).
• Так как основание логарифма \( 6 > 1 \), то функция \( \log_6 x \) возрастающая. Следовательно, мы можем приравнять аргументы, сохранив знак неравенства: \( x^2 - 3x + 2 \ge \frac{1}{6} \).
• Перенесем \( \frac{1}{6} \) в левую часть: \( x^2 - 3x + 2 - \frac{1}{6} \ge 0 \).
• \( x^2 - 3x + \frac{12 - 1}{6} \ge 0 \) \( x^2 - 3x + \frac{11}{6} \ge 0 \).
• Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 3x + \frac{11}{6} = 0 \).
• \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{11}{6} = 9 - \frac{44}{6} = 9 - \frac{22}{3} = \frac{27 - 22}{3} = \frac{5}{3} \).
• \( x_1 = \frac{3 - \sqrt{\frac{5}{3}}}{2} \), \( x_2 = \frac{3 + \sqrt{\frac{5}{3}}}{2} \).
• Ветви параболы \( y = x^2 - 3x + \frac{11}{6} \) направлены вверх, поэтому \( x^2 - 3x + \frac{11}{6} \ge 0 \) при \( x \le \frac{3 - \sqrt{\frac{5}{3}}}{2} \) или \( x \ge \frac{3 + \sqrt{\frac{5}{3}}}{2} \).
3. Пересечение ОДЗ и решения неравенства:
• \( x < 1 \) или \( x > 2 \)
• \( x \le \frac{3 - \sqrt{\frac{5}{3}}}{2} \) или \( x \ge \frac{3 + \sqrt{\frac{5}{3}}}{2} \).
• Сравним значения: \( \frac{3 - \sqrt{\frac{5}{3}}}{2} \approx \frac{3 - \sqrt{1.66}}{2} \approx \frac{3 - 1.29}{2} \approx \frac{1.71}{2} \approx 0.855 \). Это значение меньше 1.
• \( \frac{3 + \sqrt{\frac{5}{3}}}{2} \approx \frac{3 + 1.29}{2} \approx \frac{4.29}{2} \approx 2.145 \). Это значение больше 2.
• Таким образом, пересечение дает: \( x \le \frac{3 - \sqrt{\frac{5}{3}}}{2} \) или \( x \ge \frac{3 + \sqrt{\frac{5}{3}}}{2} \).

Ответ: \( x \le \frac{3 - \sqrt{\frac{5}{3}}}{2} \) или \( x \ge \frac{3 + \sqrt{\frac{5}{3}}}{2} \).