В4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1 – x³, y = 0, x = 0, x = 1.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \) и осью \( Ox \) на отрезке \( [a, b] \), вычисляется по формуле \( S = \int_a^b |f(x)| dx \).

В данном случае функция \( y = 1 - x^3 \), отрезок \( [0, 1] \).

1. Проверим знак функции на отрезке \( [0, 1] \).
• При \( x=0 \), \( y=1 \).
• При \( x=1 \), \( y=0 \).
• На интервале \( (0, 1) \) значение \( x^3 \) меньше 1, поэтому \( 1 - x^3 > 0 \).
2. Так как функция \( y = 1 - x^3 \) неотрицательна на отрезке \( [0, 1] \), площадь вычисляется как определённый интеграл:
• \( S = \int_0^1 (1 - x^3) dx \).
3. Вычислим интеграл:
• \( S = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 \).
• Подставим верхний предел интегрирования: \( 1 - \frac{1^4}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \).
• Подставим нижний предел интегрирования: \( 0 - \frac{0^4}{4} = 0 \).
• Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе: \( S = \frac{3}{4} - 0 = \frac{3}{4} \).

Ответ: 3/4.