В3. Построить график функции y = 4x³ - 6x²

Решение:

Для построения графика функции \( y = 4x^3 - 6x^2 \) найдем её производную, точки экстремума, точки перегиба и значения функции в этих точках.

1. Находим первую производную:
• \( y' = (4x^3 - 6x^2)' = 12x^2 - 12x = 12x(x-1) \).
2. Находим критические точки (где \( y' = 0 \)):
• \( 12x(x-1) = 0 \) \( \implies x = 0 \) или \( x = 1 \).
3. Определяем интервалы возрастания/убывания и точки экстремума:
• При \( x < 0 \) (например, \( x=-1 \)), \( y' = 12(-1)(-1-1) = 12(-1)(-2) = 24 > 0 \) — функция возрастает.
• При \( 0 < x < 1 \) (например, \( x=0.5 \)), \( y' = 12(0.5)(0.5-1) = 6(-0.5) = -3 < 0 \) — функция убывает.
• При \( x > 1 \) (например, \( x=2 \)), \( y' = 12(2)(2-1) = 24(1) = 24 > 0 \) — функция возрастает.
• Следовательно, в точке \( x = 0 \) — локальный максимум, в точке \( x = 1 \) — локальный минимум.
4. Находим значения функции в точках экстремума:
• \( y(0) = 4(0)^3 - 6(0)^2 = 0 \). Точка максимума: (0, 0).
• \( y(1) = 4(1)^3 - 6(1)^2 = 4 - 6 = -2 \). Точка минимума: (1, -2).
5. Находим вторую производную:
• \( y'' = (12x^2 - 12x)' = 24x - 12 = 12(2x - 1) \).
6. Находим точки перегиба (где \( y'' = 0 \)):
• \( 12(2x - 1) = 0 \) \( \implies 2x - 1 = 0 \) \( \implies x = 0.5 \).
7. Определяем интервалы выпуклости/вогнутости:
• При \( x < 0.5 \) (например, \( x=0 \)), \( y'' = 12(2(0) - 1) = -12 < 0 \) — функция выпукла вверх (вогнутая).
• При \( x > 0.5 \) (например, \( x=1 \)), \( y'' = 12(2(1) - 1) = 12 > 0 \) — функция выпукла вниз (выпуклая).
• Следовательно, в точке \( x = 0.5 \) — точка перегиба.
8. Находим значение функции в точке перегиба:
• \( y(0.5) = 4(0.5)^3 - 6(0.5)^2 = 4(0.125) - 6(0.25) = 0.5 - 1.5 = -1 \). Точка перегиба: (0.5, -1).
9. Строим график:

Ответ: График функции — кубическая парабола с локальным максимумом в (0, 0), локальным минимумом в (1, -2) и точкой перегиба в (0.5, -1).