В5. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см и образует с боковым ребром угол 30°. Найдите объём пирамиды.

Решение:

Объём правильной четырёхугольной пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} H \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( H \) — высота.

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат.

1. Пусть \( H = 6 \) см — высота пирамиды, \( L \) — длина бокового ребра, \( α = 30^\circ \) — угол между боковым ребром и высотой.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( H \), боковым ребром \( L \) и проекцией бокового ребра на основание (половиной диагонали основания).
3. В этом треугольнике высота \( H \) — прилежащий катет к углу \( α \), а боковое ребро \( L \) — гипотенуза.
4. Воспользуемся определением косинуса: \( \cos \alpha = \frac{H}{L} \).
5. Найдем длину бокового ребра: \( L = \frac{H}{\cos \alpha} = \frac{6}{\cos 30^\circ} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \) см.
6. Теперь найдем длину диагонали основания \( d \). В том же прямоугольном треугольнике, \( H \) — прилежащий катет, а половина диагонали \( d/2 \) — противолежащий катет.
7. Воспользуемся определением тангенса: \( \tan \alpha = \frac{d/2}{H} \).
8. \( d/2 = H \tan \alpha = 6 \tan 30^\circ = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \) см.
9. Тогда диагональ основания \( d = 2 \cdot (2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} \) см.
10. Найдем сторону основания \( a \) квадрата. Диагональ квадрата связана со стороной формулой \( d = a\sqrt{2} \).
11. \( a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6} \) см.
12. Найдем площадь основания: \( S_{осн} = a^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24 \) см².
13. Теперь вычислим объём пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48 \) см³.

Ответ: 48 см³.