В2. Решите уравнение: 6sin²x + sinx⋅cosx - cos²x = 0.

Решение:

Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \), предполагая, что \( \cos x
e 0 \).

1. \( \frac{6\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \).
2. \( 6\tan^2 x + \tan x - 1 = 0 \).
3. Сделаем замену: \( t = \tan x \). Получим квадратное уравнение: \( 6t^2 + t - 1 = 0 \).
4. Найдем дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 \).
5. Найдем корни \( t \):
• \( t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \).
• \( t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \).
6. Теперь вернемся к замене:
• \( \tan x = \frac{1}{3} \) \( \implies x = \arctan \frac{1}{3} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• \( \tan x = -\frac{1}{2} \) \( \implies x = \arctan (-\frac{1}{2}) + \pi n \) \( \implies x = -\arctan \frac{1}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
7. Проверим, не является ли \( \cos x = 0 \) решением исходного уравнения. Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi m \). Тогда \( \sin^2 x = 1 \). Подставим в исходное уравнение: \( 6(1) + \sin x \cdot 0 - 0 = 0 \) \( \implies 6 = 0 \), что неверно. Значит, \( \cos x
   e 0 \) для решений уравнения.

Ответ: \( x = \arctan \frac{1}{3} + \pi k \) или \( x = -\arctan \frac{1}{2} + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).