Вариант 1, №3. Вычислите: a) $$\frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}}$$; б) $$\frac{3^{11} \cdot 27}{9^6}$$.

Решение:

1. Выражение а:
   $$\frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}}$$
   При умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются:
   $$6^{15} \cdot 6^{11} = 6^{15+11} = 6^{26}$$
   Теперь делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются:
   $$\frac{6^{26}}{6^{24}} = 6^{26-24} = 6^2 = 36$$
   
2. Выражение б:
   $$\frac{3^{11} \cdot 27}{9^6}$$
   Представим 27 и 9 как степени числа 3:
   $$27 = 3^3$$
   $$9 = 3^2$$, тогда $$9^6 = (3^2)^6 = 3^{2 \cdot 6} = 3^{12}$$
   Подставим в дробь:
   $$\frac{3^{11} \cdot 3^3}{3^{12}}$$
   Сложим показатели в числителе:
   $$\frac{3^{11+3}}{3^{12}} = \frac{3^{14}}{3^{12}}$$
   Вычтем показатели:
   $$3^{14-12} = 3^2 = 9$$
   

Ответ: а) 36; б) 9.