Вариант 3, Задача 9: К потолку подвешены два маятника. За одинаковое время один маятник совершил 5 колебаний, а другой 3 колебания. Какова длина каждого маятника, если разность их длин 48 см?

Пусть (L_1) и (L_2) - длины первого и второго маятников, а (T_1) и (T_2) - их периоды. Известно, что разность длин составляет 48 см, то есть \(L_1 - L_2 = 0.48 \text{ м}\) (предполагаем, что L1 > L2).
Поскольку за одинаковое время первый маятник совершил 5 колебаний, а второй - 3, то:
\[\frac{t}{T_1} = 5, \quad \frac{t}{T_2} = 3\]
Отсюда:
\[T_1 = \frac{t}{5}, \quad T_2 = \frac{t}{3}\]
Формула периода математического маятника:
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\]
Тогда:
\[T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L_1}{g}} = \frac{t}{5}\]
\[T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L_2}{g}} = \frac{t}{3}\]
Выразим (L_1) и (L_2) через (t):
\[L_1 = \frac{g t^2}{4 \pi^2 \cdot 25}\]
\[L_2 = \frac{g t^2}{4 \pi^2 \cdot 9}\]
Известно, что (L_1 - L_2 = 0.48):
\[\frac{g t^2}{4 \pi^2 \cdot 25} - \frac{g t^2}{4 \pi^2 \cdot 9} = 0.48\]
Вынесем общий множитель:
\[\frac{g t^2}{4 \pi^2} \left(\frac{1}{25} - \frac{1}{9}\right) = 0.48\]
\[\frac{g t^2}{4 \pi^2} \left(\frac{9 - 25}{225}\right) = 0.48\]
\[\frac{g t^2}{4 \pi^2} \cdot \frac{-16}{225} = 0.48\]
\[t^2 = \frac{0.48 \cdot 4 \pi^2 \cdot 225}{-16g}\]
Так как время не может быть отрицательным, у нас где-то ошибка. В условии (L_1 - L_2 = 0.48) значит L1>L2. А из условия задачи получается что T1\[\frac{g t^2}{4 \pi^2} \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{25}\right) = 0.48\]
\[\frac{g t^2}{4 \pi^2} \left(\frac{25 - 9}{225}\right) = 0.48\]
\[\frac{g t^2}{4 \pi^2} \cdot \frac{16}{225} = 0.48\]
\[t^2 = \frac{0.48 \cdot 4 \pi^2 \cdot 225}{16g}\]
\[t^2 = \frac{0.48 \cdot 4 \cdot (3.14)^2 \cdot 225}{16 \cdot 9.8} \approx \frac{0.48 \cdot 4 \cdot 9.86 \cdot 225}{16 \cdot 9.8} \approx \frac{4249}{156.8} \approx 27.1\]
\[t \approx \sqrt{27.1} \approx 5.2 \text{ с}\]
Теперь найдем длины маятников:
\[L_1 = \frac{9.8 \cdot (5.2)^2}{4 \cdot (3.14)^2 \cdot 25} \approx \frac{9.8 \cdot 27.04}{4 \cdot 9.86 \cdot 25} \approx \frac{265}{986} \approx 0.269 \text{ м}\]
\[L_2 = \frac{9.8 \cdot (5.2)^2}{4 \cdot (3.14)^2 \cdot 9} \approx \frac{9.8 \cdot 27.04}{4 \cdot 9.86 \cdot 9} \approx \frac{265}{355} \approx 0.746 \text{ м}\]

**Ответ:** Длина первого маятника (который совершает 5 колебаний) примерно равна 0.269 метра (26.9 см), длина второго маятника (который совершает 3 колебания) примерно равна 0.746 метра (74.6 см).