Вариант 3, Задача 9: К потолку подвешены два маятника. За одинаковое время один маятник совершил 5 колебаний, а другой 3 колебания. Какова длина каждого маятника, если разность их длин 48 см?

Пусть (L_1) и (L_2) - длины первого и второго маятников, а (T_1) и (T_2) - их периоды. Известно, что разность длин составляет 48 см, то есть (L_1 - L_2 = 0.48 \text{ м}) (предполагаем, что L1 > L2). Поскольку за одинаковое время первый маятник совершил 5 колебаний, а второй - 3, то: \[\frac{t}{T_1} = 5, \quad \frac{t}{T_2} = 3\] Отсюда: \[T_1 = \frac{t}{5}, \quad T_2 = \frac{t}{3}\] Формула периода математического маятника: \[T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\] Тогда: \[T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L_1}{g}} = \frac{t}{5}\] \[T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L_2}{g}} = \frac{t}{3}\] Выразим (L_1) и (L_2) через (t): \[L_1 = \frac{g t^2}{4 \pi^2 \cdot 25}\] \[L_2 = \frac{g t^2}{4 \pi^2 \cdot 9}\] Известно, что (L_1 - L_2 = 0.48): \[\frac{g t^2}{4 \pi^2 \cdot 25} - \frac{g t^2}{4 \pi^2 \cdot 9} = 0.48\] Вынесем общий множитель: \[\frac{g t^2}{4 \pi^2} \left(\frac{1}{25} - \frac{1}{9}\right) = 0.48\] \[\frac{g t^2}{4 \pi^2} \left(\frac{9 - 25}{225}\right) = 0.48\] \[\frac{g t^2}{4 \pi^2} \cdot \frac{-16}{225} = 0.48\] \[t^2 = \frac{0.48 \cdot 4 \pi^2 \cdot 225}{-16g}\] Так как время не может быть отрицательным, у нас где-то ошибка. В условии (L_1 - L_2 = 0.48) значит L1>L2. А из условия задачи получается что T1