Вариант III, Задача 3. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C= 90°) биссектрисы CD и АЕ пересекаются в точке O. ∠AOC=105°. Найдите острые углы треугольника АВС.

Решение: 1. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) биссектриса AE делит угол A пополам, то есть ∠CAE = ∠A/2. 2. Рассмотрим треугольник AOC: ∠AOC + ∠OCA + ∠CAE = 180°. Из условия ∠AOC = 105°, также известно, что CD - биссектриса, поэтому ∠OCA = ∠C/2 = 90°/2 = 45°. 3. Подставим известные значения в уравнение: 105° + 45° + ∠CAE = 180° 150° + ∠CAE = 180° ∠CAE = 30° 4. Так как AE - биссектриса угла A, то ∠A = 2 * ∠CAE = 2 * 30° = 60°. 5. Теперь можно найти угол B, зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°: ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 60° - 90° = 30° Ответ: ∠A = 60°, ∠B = 30°