Вариант IV. 3. Через гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость α, которая образует с плоскостью треугольника угол 60°. Найти расстояние от точки C до плоскости α, если катеты треугольника равны 7 см и 24 см.

Гипотенуза равна \(AB=\sqrt{7^2+24^2}=25\) см. Высота из C на гипотенузу: \(h=\frac{7\cdot24}{25}=\frac{168}{25}\) см.

Плоскость α содержит AB, поэтому расстояние от C до α равно высоте h, умноженной на синус угла между плоскостями:

\(d=h\sin60°=\frac{168}{25}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{84\sqrt3}{25}\) см.

Ответ: \(\frac{84\sqrt3}{25}\) см.