Вычислите рациональным способом: А) 1+2+3+...+999+1000 Б) 57+58+59+...+156+157 В) 1+2+3+...+(n-1)+n

Решение:

Используем формулу суммы арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n \), где \( a_1 \) — первый член, \( a_n \) — последний член, \( n \) — количество членов.

А) 1+2+3+...+999+1000

1. \( a_1 = 1 \)
2. \( a_n = 1000 \)
3. \( n = 1000 \)
4. \( S_{1000} = \frac{1 + 1000}{2} \times 1000 = \frac{1001}{2} \times 1000 = 1001 \times 500 = 500500 \)

Б) 57+58+59+...+156+157

1. \( a_1 = 57 \)
2. \( a_n = 157 \)
3. \( n = 157 - 57 + 1 = 101 \)
4. \( S_{101} = \frac{57 + 157}{2} \times 101 = \frac{214}{2} \times 101 = 107 \times 101 = 10807 \)

В) 1+2+3+...+(n-1)+n

1. \( a_1 = 1 \)
2. \( a_n = n \)
3. \( n = n \)
4. \( S_n = \frac{1 + n}{2} \times n = \frac{n(n+1)}{2} \)

Ответ: А) 500500; Б) 10807; В) \( \frac{n(n+1)}{2} \).