11) y²-2x-5y=5; 1 x2

Уравнение имеет вид:

$$y' - \frac{2x - 5}{x^2} y = \frac{5}{x^2}$$

Здесь $$P(x) = -\frac{2x - 5}{x^2} = -\frac{2}{x} + \frac{5}{x^2}$$, $$Q(x) = \frac{5}{x^2}$$.

Интегрирующий фактор:

$$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (-\frac{2}{x} + \frac{5}{x^2}) dx} = e^{-2 \ln x - \frac{5}{x}} = e^{\ln x^{-2} - \frac{5}{x}} = x^{-2} e^{-\frac{5}{x}} = \frac{e^{-\frac{5}{x}}}{x^2}$$

Умножаем уравнение на интегрирующий фактор:

$$\frac{e^{-\frac{5}{x}}}{x^2} y' - \frac{2x-5}{x^4}e^{-\frac{5}{x}} y = \frac{5e^{-\frac{5}{x}}}{x^4}$$

Заметим, что:

$$\frac{d}{dx} (\frac{e^{-\frac{5}{x}}}{x^2} y) = \frac{e^{-\frac{5}{x}}}{x^2} y' + (\frac{5e^{-\frac{5}{x}}}{x^4} - \frac{2e^{-\frac{5}{x}}}{x^3}) y = \frac{e^{-\frac{5}{x}}}{x^2} y' - \frac{(2x-5)e^{-\frac{5}{x}}}{x^4} y$$

Поэтому:

$$\frac{d}{dx} (\frac{e^{-\frac{5}{x}}}{x^2} y) = \frac{5e^{-\frac{5}{x}}}{x^4}$$

Интегрируем по x:

$$\int \frac{d}{dx} (\frac{e^{-\frac{5}{x}}}{x^2} y) dx = \int \frac{5e^{-\frac{5}{x}}}{x^4} dx$$ $$\frac{e^{-\frac{5}{x}}}{x^2} y = \int \frac{5e^{-\frac{5}{x}}}{x^4} dx$$

Замена: u = -5/x, du = 5/x^2 dx

y*e^(-5/x) / x^2 = int(e^(-5/x) / x^2 * 5/5)dx

y*e^(-5/x) / x^2 = int(e^u/ (-5) * 5 )du

y * e^(-5/x) / x^2 = -1 * int(e^u) du

y * e^(-5/x) / x^2 = -1 * e^u + C

y * e^(-5/x) / x^2 = - e^(-5/x) + C

y = (-e^(-5/x) + C) * x^2 / e^(-5/x)

y = -x^2 + C * x^2 * e^(5/x)

Ответ: $$y = -x^2 + Cx^2e^{\frac{5}{x}}$$