13) y'--y =--lnx; 1 X 2 X

Уравнение имеет вид:

$$y' - \frac{1}{x}y = -\frac{2 \ln x}{x}$$

Здесь $$P(x) = -\frac{1}{x}$$, $$Q(x) = -\frac{2 \ln x}{x}$$.

Интегрирующий фактор:

$$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$$

Умножаем уравнение на интегрирующий фактор:

$$\frac{1}{x} y' - \frac{1}{x^2} y = -\frac{2 \ln x}{x^2}$$

Левая часть является производной $$\frac{1}{x}y$$:

$$\frac{d}{dx}(\frac{1}{x}y) = \frac{1}{x} y' - \frac{1}{x^2} y$$

Поэтому:

$$\frac{d}{dx}(\frac{1}{x}y) = -\frac{2 \ln x}{x^2}$$

Интегрируем обе части по x:

$$\int \frac{d}{dx}(\frac{1}{x}y) dx = \int -\frac{2 \ln x}{x^2} dx$$

Интегрируем правую часть по частям:

$$u = \ln x, dv = -\frac{2}{x^2} dx$$ $$du = \frac{1}{x} dx, v = \frac{2}{x}$$ $$\int -\frac{2 \ln x}{x^2} dx = \frac{2 \ln x}{x} - \int \frac{2}{x^2} dx = \frac{2 \ln x}{x} + \frac{2}{x} + C$$

Следовательно:

$$\frac{1}{x}y = \frac{2 \ln x}{x} + \frac{2}{x} + C$$

Решаем относительно y:

$$y = 2 \ln x + 2 + Cx$$

Ответ: $$y = 2\ln x + 2 + Cx$$