15) y'+=y=x³; 2 X

Уравнение имеет вид:

$$y' + \frac{2}{x} y = x^3$$

Здесь $$P(x) = \frac{2}{x}$$, $$Q(x) = x^3$$.

Интегрирующий фактор:

$$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln x} = e^{\ln x^2} = x^2$$

Умножаем уравнение на интегрирующий фактор:

$$x^2 y' + 2x y = x^5$$

Левая часть является производной $$x^2y$$:

$$\frac{d}{dx}(x^2y) = x^2 y' + 2x y$$

Поэтому:

$$\frac{d}{dx}(x^2y) = x^5$$

Интегрируем обе части по x:

$$\int \frac{d}{dx}(x^2y) dx = \int x^5 dx$$ $$x^2y = \frac{x^6}{6} + C$$

Решаем относительно y:

$$y = \frac{x^4}{6} + \frac{C}{x^2}$$

Ответ: $$y = \frac{x^4}{6} + \frac{C}{x^2}$$