8) y' + y = sin x; X

Уравнение имеет вид:

$$y' + \frac{1}{x} y = \sin x$$

Здесь $$P(x) = \frac{1}{x}$$, $$Q(x) = \sin x$$.

Интегрирующий фактор:

$$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$$

Умножаем уравнение на интегрирующий фактор:

$$xy' + y = x \sin x$$

Левая часть является производной $$xy$$:

$$\frac{d}{dx}(xy) = xy' + y$$

Поэтому:

$$\frac{d}{dx}(xy) = x \sin x$$

Интегрируем обе части по x:

$$\int \frac{d}{dx}(xy) dx = \int x \sin x dx$$

Интегрируем правую часть по частям:

$$u = x, dv = \sin x dx$$ $$du = dx, v = -\cos x$$ $$\int x \sin x dx = -x \cos x - \int -\cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$$

Следовательно:

$$xy = -x \cos x + \sin x + C$$

Решаем относительно y:

$$y = -\cos x + \frac{\sin x}{x} + \frac{C}{x}$$

Ответ: $$y = -\cos x + \frac{\sin x}{x} + \frac{C}{x}$$