17) y'-2y=1+x2; 2x 1+x

Уравнение имеет вид:

$$y' - \frac{2x}{1 + x^2} y = 1 + x^2$$

Здесь $$P(x) = -\frac{2x}{1 + x^2}$$, $$Q(x) = 1 + x^2$$.

Интегрирующий фактор:

$$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2x}{1 + x^2} dx}$$

Интеграл: $$ \int -\frac{2x}{1 + x^2} dx = -\ln(1 + x^2)$$.

Поэтому:

$$\mu(x) = e^{-\ln(1 + x^2)} = \frac{1}{1 + x^2}$$

Умножаем уравнение на интегрирующий фактор:

$$\frac{1}{1 + x^2} y' - \frac{2x}{(1 + x^2)^2} y = 1$$

Левая часть является производной $$\frac{y}{1+x^2}$$:

$$\frac{d}{dx}(\frac{y}{1 + x^2}) = \frac{1}{1 + x^2} y' - \frac{2x}{(1 + x^2)^2} y$$

Следовательно:

$$\frac{d}{dx}(\frac{y}{1 + x^2}) = 1$$

Интегрируем по x:

$$\int \frac{d}{dx}(\frac{y}{1 + x^2}) dx = \int 1 dx$$ $$\frac{y}{1 + x^2} = x + C$$

Решаем относительно y:

$$y = (x + C)(1 + x^2) = x + x^3 + C + Cx^2$$

Ответ: $$y = x^3 + Cx^2 + x + C$$