9) y'+y +1 = x²; 2x

Уравнение имеет вид:

$$y' + \frac{1}{2x} y = x^2$$

Здесь P(x) = $$\frac{1}{2x}$$, Q(x) = $$x^2$$.

Интегрирующий фактор равен:

$$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{2x} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln x} = e^{\ln \sqrt{x}} = \sqrt{x}$$

Умножаем уравнение на интегрирующий фактор:

$$\sqrt{x} y' + \frac{1}{2x\sqrt{x}} y = x^2\sqrt{x}$$ $$\sqrt{x} y' + \frac{1}{2\sqrt{x}} y = x^{\frac{5}{2}}$$

Левая часть является производной произведения $$\sqrt{x}y$$:

$$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}y) = \sqrt{x} y' + \frac{1}{2\sqrt{x}} y$$

Следовательно:

$$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}y) = x^{\frac{5}{2}}$$

Интегрируем обе части по x:

$$\int \frac{d}{dx}(\sqrt{x}y) dx = \int x^{\frac{5}{2}} dx$$ $$\sqrt{x}y = \frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} + C$$ $$\sqrt{x}y = \frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} + C$$

Решаем относительно y:

$$y = \frac{2}{7}x^3 + \frac{C}{\sqrt{x}}$$

Ответ: $$y = \frac{2}{7}x^3 + \frac{C}{\sqrt{x}}$$