7) y'-- y = xsin x; X

Для решения данного дифференциального уравнения необходимо использовать метод интегрирующего фактора. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

$$y' + P(x)y = Q(x)$$

В данном случае уравнение имеет вид:

$$y' - \frac{1}{x}y = x \sin x$$

Здесь $$P(x) = -\frac{1}{x}$$, $$Q(x) = x \sin x$$

Интегрирующий фактор $$\mu(x)$$ определяется как:

$$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = e^{\ln x^{-1}} = \frac{1}{x}$$

Умножим обе части дифференциального уравнения на интегрирующий фактор:

$$\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^2}y = \sin x$$

Левая часть является производной произведения $$\frac{1}{x}y$$:

$$\frac{d}{dx}(\frac{1}{x}y) = \frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^2}y$$

Следовательно:

$$\frac{d}{dx}(\frac{1}{x}y) = \sin x$$

Интегрируем обе части по x:

$$\int \frac{d}{dx}(\frac{1}{x}y) dx = \int \sin x dx$$ $$\frac{1}{x}y = -\cos x + C$$

Решаем относительно y:

$$y = x(-\cos x + C) = -x\cos x + Cx$$

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

$$y(x) = Cx - x\cos x$$

Ответ: $$y(x) = Cx - x\cos x$$