10) y' + 2xy=2x²; 1+x2y = 1+2,

Уравнение имеет вид:

$$y' + \frac{2x}{1+x^2} y = \frac{2x^2}{1+x^2}$$

Здесь $$P(x) = \frac{2x}{1+x^2}$$, $$Q(x) = \frac{2x^2}{1+x^2}$$.

Интегрирующий фактор:

$$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1 + x^2$$

Умножаем уравнение на интегрирующий фактор:

$$(1+x^2) y' + 2x y = 2x^2$$

Левая часть является производной $$(1+x^2)y$$:

$$\frac{d}{dx}((1+x^2)y) = (1+x^2) y' + 2x y$$

Поэтому:

$$\frac{d}{dx}((1+x^2)y) = 2x^2$$

Интегрируем обе части по x:

$$\int \frac{d}{dx}((1+x^2)y) dx = \int 2x^2 dx$$ $$(1+x^2)y = \frac{2x^3}{3} + C$$

Решаем относительно y:

$$y = \frac{2x^3}{3(1+x^2)} + \frac{C}{1+x^2}$$

Ответ: $$y = \frac{2x^3}{3(1+x^2)} + \frac{C}{1+x^2}$$