18) y'+-2y=1; 1-2x X²

Уравнение имеет вид:

$$y' + \frac{1 - 2x}{x^2} y = 1$$

Здесь $$P(x) = \frac{1 - 2x}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x}$$, $$Q(x) = 1$$.

Интегрирующий фактор:

$$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x}) dx} = e^{-\frac{1}{x} - 2\ln x} = e^{-\frac{1}{x}}e^{\ln x^{-2}} = \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}$$

Умножаем уравнение на интегрирующий фактор:

$$\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} y' + (\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x}) \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} y = \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}$$ $$\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} y' + \frac{1 - 2x}{x^4} e^{-\frac{1}{x}} y = \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}$$

Поскольку:

$$\frac{d}{dx} (\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} y) = \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} y' + (\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^4} - \frac{2e^{-\frac{1}{x}}}{x^3}) y = \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} y' + \frac{1-2x}{x^4}e^{-\frac{1}{x}} y$$

То:

$$\frac{d}{dx} (\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} y) = \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}$$

Интегрируем обе части по x:

$$\int \frac{d}{dx} (\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} y) dx = \int \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} dx$$

Замена: u = -1/x, du = 1/x^2 dx

y*e^(-1/x) / x^2 = int(e^u) du

y * e^(-1/x) / x^2 = e^u + C

y * e^(-1/x) / x^2 = e^(-1/x) + C

y = e^(-1/x) * x^2 / e^(-1/x) + C * x^2 / e^(-1/x)

y = x^2 + C * x^2 * e^(1/x)

Ответ: $$y = x^2 + Cx^2e^{\frac{1}{x}}$$