19) y'+y=; 3 X 2 X³

Уравнение имеет вид:

$$y' + \frac{3}{x} y = \frac{2}{x^3}$$

Здесь $$P(x) = \frac{3}{x}$$, $$Q(x) = \frac{2}{x^3}$$.

Интегрирующий фактор:

$$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = e^{\ln x^3} = x^3$$

Умножаем уравнение на интегрирующий фактор:

$$x^3 y' + 3x^2 y = 2$$

Левая часть является производной $$x^3 y$$:

$$\frac{d}{dx}(x^3 y) = x^3 y' + 3x^2 y$$

Поэтому:

$$\frac{d}{dx}(x^3 y) = 2$$

Интегрируем по x:

$$\int \frac{d}{dx}(x^3 y) dx = \int 2 dx$$ $$x^3 y = 2x + C$$

Решаем относительно y:

$$y = \frac{2}{x^2} + \frac{C}{x^3}$$

Ответ: $$y = \frac{2}{x^2} + \frac{C}{x^3}$$