12) y'+y=x+le*; 1 X

Уравнение имеет вид:

$$y' + \frac{1}{x} y = \frac{x+1}{x}e^x$$

Здесь $$P(x) = \frac{1}{x}$$, $$Q(x) = \frac{x+1}{x}e^x$$.

Интегрирующий фактор:

$$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$$

Умножаем уравнение на интегрирующий фактор:

$$xy' + y = (x+1)e^x$$

Левая часть является производной $$xy$$:

$$\frac{d}{dx}(xy) = xy' + y$$

Поэтому:

$$\frac{d}{dx}(xy) = (x+1)e^x$$

Интегрируем по x:

$$\int \frac{d}{dx}(xy) dx = \int (x+1)e^x dx$$ $$xy = \int (x+1)e^x dx = \int xe^x dx + \int e^x dx$$

Интегрируем $$\int xe^x dx$$ по частям:

$$u = x, dv = e^x dx$$ $$du = dx, v = e^x$$ $$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C_1$$

Следовательно:

$$xy = xe^x - e^x + e^x + C = xe^x + C$$

Решаем относительно y:

$$y = e^x + \frac{C}{x}$$

Ответ: $$y = e^x + \frac{C}{x}$$