7) \( y = (x^3 + 1) \cdot \sqrt{x} \)

Для нахождения производной функции \( y = (x^3 + 1) \cdot \sqrt{x} \), используем правило произведения. \[(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\] Пусть \( u = x^3 + 1 \) и \( v = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \). * Тогда \( u' = 3x^2 \). * И \( v' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \). Применим правило произведения: \[y' = 3x^2 \cdot \sqrt{x} + (x^3 + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\] Преобразуем выражение: \[y' = 3x^2 \sqrt{x} + \frac{x^3}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\] \[y' = \frac{6x^2 \cdot x}{2\sqrt{x}} + \frac{x^3}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\] \[y' = \frac{6x^3 + x^3 + 1}{2\sqrt{x}}\] \[y' = \frac{7x^3 + 1}{2\sqrt{x}}\] Итоговый ответ: \[y' = \frac{7x^3 + 1}{2\sqrt{x}}\]