Задание 473. Через вершину C треугольника ABC проведена прямая m, параллельная стороне AB. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием AB имеют равные площади.

Пусть точки \(C_1,C_2,\ldots\) лежат на прямой \(m\), причём \(m\parallel AB\). Расстояние между параллельными прямыми \(m\) и \(AB\) постоянно, поэтому все высоты треугольников с основанием \(AB\) равны высоте \(h\) треугольника \(ABC\). Для любого такого треугольника \[S=\frac12AB\cdot h.\] Правая часть не зависит от положения вершины на прямой \(m\), следовательно, площади всех этих треугольников равны.

Ответ: все треугольники имеют одинаковую площадь.