Задание 478. В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.

Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника имеют длины \(d_1\) и \(d_2\), а точка их пересечения — \(O\). Диагонали перпендикулярны и делят четырёхугольник на четыре прямоугольных треугольника. Их общая площадь равна \[S=\frac12\left(AO\cdot BO+BO\cdot CO+CO\cdot DO+DO\cdot AO\right).\] Группируя слагаемые, получаем \[S=\frac12(AO+CO)(BO+DO)=\frac12d_1d_2.\]

Что и требовалось доказать.